1990 syntynyt ja 203 cm pituinen Szabó aloitti Unkarin mestaruusliigassa vuonna 2008 ja on voittanut urallaan viisi kertaa Unkarin mestaruuden sekä cupin.
Kotikaupungissaan Kecskemétissä vuonna 2008 alkaneen liigauran jälkeen Szabó pelasi kolme kautta Kaposvárin joukkueessa voittaen joka vuosi Unkarin mestaruuden ja cupin, ja siirtyi sen jälkeen ammattilaiseksi Belgiaan WBC Waremmen joukkueeseen. Seuraava vuosi Belgiassa keskeytyi VC Argex Duvel Puursin talousvaikeuksien takia ja Szabo palasi Kescemétiin, tuloksena Unkarin mestaruus ja cupin voitto, sekä MEVZA:n (Middle European Volleyball Zonal Association) torjuntatilaston voitto. Kauden 2014-2015 Szabo pelasi uudelleen Kaposvárissa voittaen viidennen kerran Unkarin mestaruuden ja cupin.
Unkarin miesten maajoukkueessa Alpár Szabó on pelannut vuodesta 2010 alkaen.
